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FAQ



Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien ?

  • Logiciel :

     Effel
  • Module :

     Structure
  • Question :

     Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien ?
  • Rubrique :

     Hypothese de calcul
  • Difficulté :

     **

Réponse


Il y a flambement ou instabilité élastique d'une structure soumise à un système de charges lorsque pour une valeur particulière de ce système, les déplacements deviennent considérables, les forces extérieures conservant des intensités finies. Les déplacements ne sont donc plus des fonctions linéaires des forces appliquées.

L'analyse de flambement généralisé de Effel Structure permet de déterminer la charge critique de flambement correspondant à l'obtention de l'instabilité de la structure considérée. Cette charge est obtenue par produit du coefficient multiplicateur critique et des charges statiques appliquées (une combinaison de charges par exemple). Basée sur une hypothèse de petits déplacements, l'analyse suit la même démArche que celle utilisée pour l'analyse modale dynamique, la seule différence se situant dans la transformation de la matrice de masse en une matrice dite des contraintes initiales.

1. Instabilité de flambement
Le flambement est dit Eulérien quand la structure a un comportement élastique et linéaire avant de devenir instable.

Considérant un problème stationnaire, la relation entre forces et déplacements est donnée par :

Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien

avec :
[ K 0]: matrice de rigidité associée aux petits déplacements
[ K s]: matrice de rigidité associée aux contraintes initiales

Multiplions l'ensemble des charges appliquées par un coefficient l. Les équations d'équilibre s'écrivent :
l [ F ] = ( [ K0 ] + l [ Ks ] ) [ q ]

Remarque : la matrice Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien a une solution non nulle si :

Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien

Dans le cas contraire, la matrice de rigidité [K ] est singulière et l représente le coefficient multiplicateur de charges associé à {F } permettant d'atteindre l'instabilité. Cette instabilité est fonction des efforts normaux ou contraintes de membrane. La charge critique de flambement peut donc s'écrire :

Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien

La matrice de rigidité associée aux contraintes initiales d'un élément de poutre s'écrit :

Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien

2. Résultat analytique
Soit un mât encastré en pied de 10 mètres de haut, dont l'inertie est de 0.0002m4, dont le matériau a un module d'Young de 20000000 KN / m2, et soumis à un effort de compression de 100 KN.

La matrice de rigidité aux petits déplacement d'une telle poutre est donnée par :

Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien

Après introduction des conditions aux limites, le système devient donc :

Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien

D'où :

Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien

La plus petite valeur propre positive l est appelée coefficient de charge critique : l [ F ] est la charge critique.

Application numérique :
l1 = 0.99438 => Fcrit =0.99438*100 = 99.44 KN
l2 = 12.8722
à comparer avec la charge critique d'Euler théorique:

Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien

3. Résultat sous Effel Structure
Les différentes hypothèses nécessaires au calcul sont définies dans le menu « Hypothèses / Flambement » d'Effel Structure. La cas 102 associé au calcul en flambement Eulérien est lié à la combinaison 101 qui est elle même égale à 1.00 x Cas de charges 1.

Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien

Grâce aux notes paramétrable, il serait possible d'éditer le tableau suivant :

Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien

On retrouve bien Lf = 2Lo

Remarques : La solution indiquée ci dessus devrait converger vers la valeur objectif calculée par Euler en augmentant la discrétisation, il est important de signaler que la démarche décrite ci dessus est identique pour les éléments surfaciques (disponible uniquement avec le solveur CM2), la seule différence se situant dans les calculs des matrices [K0] et [Ks ] qui s'effectuent numériquement,
Il est nécessaire de mailler la structure pour bien reconstituer les déformées modales. Avec quatre éléments, la solution deviendrait :

Qu'est-ce qu'une analyse de flambement Eulérien